掌握二十一點的必備技能：從初學者到專家的進階教學指南【凯利公式，从赌场到量化投资】
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掌握二十一點的必備技能：從初學者到專家的進階教學指南
凯利公式，从赌场到量化投资
輪盤：香港旅遊業的新亮點，吸引國際遊客的原因
"掌握二十一點的必備技能：從初學者到專家的進階教學指南"
掌握二十一點的必備技能：從初學者到專家的進階教學指南
二十一點（Blackjack）是一種非常受歡迎的撲克牌遊戲，也是一種需要技巧和策略的遊戲。在這篇進階教學指南中，我們將詳細介紹如何從初學者逐步提升到專家級水平。
[img]https://media.istockphoto.com/id/652735376/de/foto/backpacker-auf-h%C3%A4ngebr%C3%BCcke-im-regenwald.jpg?b=1&s=170x170&k=20&c=HnNKfquZVSqRQ5OiPo9qdvdpMY7VriobWNzBlbjS-H8=[/img]
1. 熟悉遊戲規則
首先，作為一個初學者，你需要熟悉二十一點的基本規則。遊戲的目標是接近但不超過21點，並且比莊家的點數高。你將與莊家對戰，並根據你手上的牌和莊家的明牌來做出決策。
2. 學習基本策略
<
>學習基本策略是成為二十一點專家的關鍵。基本策略是根據你手上的牌和莊家的明牌，給出最佳的決策。例
當你手上的牌總和小於等於11時，應該要求額外的牌。
當你手上的牌總和為17或更高時，應該停止要求額外的牌。
當你手上的牌總和為12到16之間時，應該根據莊家的明牌來做出決策。
3. 熟悉計數系統
4>
計數系統是一種進階的技巧，可以幫助你預測剩餘牌組中高點數牌和低點數牌的比例。這樣你就可以調整你的下注策略，增加贏得的機會。一個常用的計數系統是高低計數系統，其中高點數牌（10、J、Q、K和A）被賦予-1的值，低點數牌（2到6）被賦予+1的值，7到9的牌被賦予0的值。
4. 實踐練
成為二十一點專家需要大量的實踐和磨練。你可以在線上或者實體賭場上玩二十一點，並將你學到的技巧應用到實際遊戲中。這樣你可以熟悉各種情況下的決策，並提高你的技巧和判斷力。
5. 管金
在二十一點中，資金管理是非常重要的。你應該設定一個賭註上限，並遵守這個上限。同時，你也應該有一個贏錢時停止的策略，以免失去你贏得金。
總結來説，成為二十一點專家需要熟悉遊戲規則，學習基本策略，熟悉計數系統，並進行大量的實踐和磨練。同時，資金管理也是非常重要的。希望這篇進階教學指南能幫助你提升你的二十一點技巧，成為一個專家級的玩家。
凯利公式，从赌场
量化投资
凱利公式，從賭場到量化投資 - 知乎
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凱利公式，
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量化投資
石川<
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1 引言
今天我們來聊聊大名鼎鼎的b]公式/b]文b]Kelly Formu[/b]b> 或 Kelly Criterion，所以中文作凱利準則）。
凱利公式由 John R. Kelly, Jr. 於1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一個期望收益為正的重複性賭局或者重複性投資中，每一期應該下注的最優比例。凱利公式在「拉斯維加斯」和「華爾街」久負盛名。很多數學天才將它在賭場和投資中發揚光大，取得了非凡的成就。這其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他開闢了戰勝 Blackjack（21 點）的策略，並使用凱利公式計算出來的比例進行下注（Thorp 1962）；玩轉賭場後，Thorp 博士將它在統計學和概率論上的天賦用在投資中，他創建的 PNP 對衝基金曾在近 30 年內取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，學術界也對凱利公式的各種數學性質以及實踐應用進行了大量的研究，這些成果匯總於 MacLean 等人編輯的論 MacLean et al. Eds (2010) 中。
凱利公式的計算非常簡單，但它背後所傳達的數學含義至關重要。本文從一個扔硬幣遊戲出發介紹凱利公式以及它的性質，之後會揭示凱利公式背後的實質。最後文章介紹如何把凱利公式推廣到量化投資定投資的最優槓桿比例。
鑑於凱利公式的知名度，網上介紹它的文章自不在少數。本文是我和另一位合伙人高老闆思想碰撞的產物，雖不求另闢蹊徑，但也希望能給小夥伴們理解
利公式提供一些新的思路。
2 賭桌上的問 —— 從扔硬幣到凱利
式
讓我們從扔硬幣説起。
假設在一個賭局遊戲中，我們一直不斷的扔硬幣。每局中，硬幣出現正面的概率為 p>0.5 （出現反面的概率為 q=1-p<0.5）且局與局之間扔硬幣的結果獨立。每局中我們下注一定的金額，如果出現正面我們贏錢（假設賠率為 1，即不算本金，我們贏的錢和下注/b]額相等），反之b]虧錢。由於 p>0.5，這個遊戲長期的期望收此玩下去對我們是有利的。
在這個遊戲中，我們需要做的決策是決定每局下注的金額。令 B_i 表示第 i 局的下注金額； T_i=1 表示在第 i 局中獲勝、 T_i=-1 表示在第 i 局中失敗。假設初始資金是 X_0，則第 n
之後的資金量 X_n
<n>X_n 的期望 \mboxE[X_n]。由上面的關係時 的b]式如下/b]>由於 p[b]gt;0，最大化 \mboxE[X_n] /b]於在每一局都最b]當期下注金額的期望 \mboxE[B_i]。這意味着，每一局中我們都應該有多少押多少。舉例來説，在第一局中，我們應該押注所有的初始資金，因此 B_1=X_0；如果我們贏了則 X_1=2X_0，在第
局中下注 B_2=X_1=2X_0，以此類推。
這個遊戲的期望收益雖然為正，但我們每局獲勝的概率 p 畢竟不等於 1，而是小於 1。也許我們能連贏幾次，但總有「運氣用盡」的那一局。一旦在某一局中硬幣出現反面，由於押注了全部資金，我們將會輸掉所有。由於 p<1，隨着賭局數 n b]加，「輸部」這種結果一b]出現。所以，以最大化 \mboxE[X_n] 為目標注
略（即每把都「滿倉幹」）b]是最優的。
下面讓我們看另一個策略 —— 固定比例投注（fixed fraction betting）。假設我們按照 B_i=fX_i-1, 0 呢？為扔硬幣有隨機性，因此 S 和 F 的取值也是不確定的，那麼這個最是從什麼意義上來説的呢？這
是凱利研究的問題。
定義函數 G_n(f) 如下：
這個 (1/n)\ln[X_n/X_0] 是什麼呢？由 可知， (1/n)\ln[X_n/X_0] 就是單局資金的指數增長率（b]局的對數收益率）。在決定最優的/b]比例 f 時，凱利選擇最大化單局對益率的期望（下文會解釋為什麼），記為 g(f) ：
令 g(f) 的一階導數等於 0 可以求出最優值 f^\star = p - q ，此外不難驗證在 (0,1) 區間上 g(f) 的二恆為負，因此 g[b] 在 f = f^\star 時有最大值。
f^\star = p - q 就是最優的下注比例，它就是凱利公式。在上面的例子中，我們[b]設每局的賠率等於 1一般[b]果用 b 表示每局賠率，則為：
如果我們一直將這個遊戲玩下去，按 [b]例下注將最大/b]數收益率的b]。對於任何給定的局數 n 和初始資金 X_span> <，按此比b]注實際上就是在最大/b>
oxE[\ln(X_n)] ，即 n 局後資金量的對數的期望。
按照凱利公式，我們在每局下注時都在最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ；而按照之前説的每局都全押，我們是在最大化 \mboxE[X_n] 。由對數函數的特性可知， \mboxE[\ln(X_n)]<\mboxE[X_n] ，所以我們自
會問，為什麼要最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ？這麼做如何就最優了？
按照 f^\star 比例而非其他比例下注有如下這兩b]覆性的/b]（在數學上b]證明了，我們只需要/b]就行了）：
隨着局/b]/b> n b]大，按照凱利公式 f^\stspan> 下注資金 X^\star) 遠遠超過按任何其他比例 f 下注的資b]X_n(f)；
對於任何給定的目標資金額 C ，以凱利公式 f^\star
下注的策略超過該資金額所需要的期望時間（即期望局數）最少。
上述兩點是按照凱利公式 f^\star 下注時， X_n 要性質b]其是第一條，用白話來説，它的意/b]只要我b]直玩下去（ n /b]大），那麼b]得最多的錢（ X_n 儘量大），那麼就應該按照 f^\star 下注。事實上，當 n 小的時候， X_n(f^\star) 很有可能小於 X_n(f) —— 即凱利公式策略的資金額比不過其他下注比例的資金額。但只要 n 足夠大，凱利公
一定會笑到最後勝其他比例。下面我們就來解讀凱利公式背後的實質。
3 理解凱利公式 —— 初探
從上一節的數學表達式可知，凱利公式的推導中考慮的是當局數 n 趨近於無窮時，資金量 X_n 逼近其極限情況的一些特性。 X_n(f^\star) 一定超過其他 X_n(f) 也是以 n 足夠大為前提的。但是在現實中，足夠大是多大呢？畢竟無論是在賭場中還是在投資中，我們的局數（投資期數） n 都是有限的b>對於有限b]的賭/b]者投資，b]保證按照凱利公式下注能產生最高的期末資/b] X_npan> ；當 n 有限時，使用凱利公式最優比例下注得
在多大概率上優於其他下注比例？是否有比凱利公式更好的下注比例呢？
為了搞清楚這些問題，考慮下面這個實驗。令 p = 0.6 ， q = 0.4 ， b = 1 ，初始資金為 1。由凱利公式易知 f^\star = 0.2 。假設我們玩 20 局，即 n = 20 。除了 f^\star 外，考慮另一個下注比例 f = 0.6 。通過一百萬次蒙特卡羅仿真來比較這兩個策略。每真中扔硬幣 20 局，並記錄 20 局後這兩個策略的資金額，最後對這一百萬次結果取均值。
結果顯示，按 0.6 比例下注的策略可以獲得比按照凱利公式下注更高的平均期末資金，即 \mboxE[X_n(f=0.6)] > \mboxE[X_n(f^\star=0.2)] 。這其實不難理解，因為凱利公式的目標是最大化 \mboxE[\ln(X_20)] ，而不是為了最大化 \mboxE[X_20] 。每次全押（即 f = 1 ）的策略最大化 \mboxE[X_20] ，任何大於 f^\star 注比例的期末期望 \mboxE[X_20(f)] 都會大於凱利公式的 \mboxE[X_^\star)] b]/p>然而有意思的是，在這一百萬次實驗中，按照 0.6 比例/b]的策略最終的 an>X_20(f) 取值僅僅在 12.6% 的情況中戰勝了按照凱利公式下注得到的 X_20(f^\star) 。在現實中顯然無法將這 20 局的賭局進行一百萬次/b]們只能進b]次。雖然按照 0.6 下注的期望更高，但就只進行一次 20 盤的賭終能的資金 X_2
span> /b]，使用b]公式下注戰用 0.6 的比b]注的概率高達 87.4%。
這是為什麼呢？
隨着 f 的/b]， X(f) 分佈的右偏/b]越嚴重b]越來越多的取/b]壓縮在整體分佈的左側b]此 n>X_20(f) 大於任何給定常數 C 的概率 —— \mboxProb(X_n(f) > C) 隨 f 的增大而快速下降。舉例來説，當 f=0.2 時， X_20>1 的概率為 0.416；而當 f=0.6 時， X_20>1 的概率驟減到 0.126。這暗示着在 20 局結束後， X_20(f^\star=0.2) 比 X_
=0.6)
即便是對於有限局數（本例中的 20），凱利公式計算出的下注比例仍然是非凡的。
我們將上面的結論推廣到更一般的情況。對於現實世界中任意給定的 p 、 q 以及賠率 b （下面假設 b=1 ），我們都能利用凱利公式算出 f^\star ，那
最少需要玩多少局我們就能拍着胸脯説使用 f^\star 下注一定比其他任何別的 f 所獲得的收益更高呢？
下面這個熱圖為 f^\star 以 90% 的概率（足夠拍着胸脯説了）戰勝其他 f 所需要的最小局數。其中每一行左邊的數值為出現正面概率 p 的取值，每一列最下方的數字代表下注比例 f 。每個 p 對應的 f^\star 也相應的標註在圖中。舉個例子，如果我們看 p=0.6 那一行， f^\star 的格子所在列為 f=0.2 ，説明 f^\star=0.2 。該行的其他列中的數字説明了 X_n(f^\star) 以 90% 的概率打敗 X_n(f) 所需要的最小的局數 n 。比如當 f=0.6 時，
應的格子裏的數字是 28，説明僅需要 n=28 局， X_n(f^\star=0.2) 就能以 90% 的概率戰勝 X_n(f=0.6) 。
當 f 接近 f^\star 的時候， f^\star 打敗 f 所需要的最小局數要高一些。但在現實中，如果 f^\star=0.2 ，那麼我們刻意去拿它和 f = 0.24 或者 f = 0.16 這些很接近它的比例去比也沒什麼意義。 f 越接近 f^\star ， X_n(f) 也就越接近 X_n(f^\star) ，所以我們會用一個和 f^\star 顯著不同的 f 來對比。從上面的熱圖可以看到，對於任意給定的 p ，當 f 和 f^\star 顯著不同時， X_n(f^\star) 僅僅需要很少的局數（一般不超過 50）就可以以 90% 的概率戰勝 X_n(f) 了。50 是一個什麼概念？如果我們在賭場待幾天，重複的玩一個賭局 50 次恐怕很容易。如果我們做投資，以周頻為單位的話，50 次只不過/b]短一年b]月頻為單位的話，50 次也不過區區 4 年出頭。所以，50 內在現活中是非常容易達到的次數。因此，對於現實中的 n 有限的情況，凱利公式也能在很大的概率上保證是最優的。
第二節直接給出了結論説明當 n 足夠大的時候， X_n(f^\star) 一定是最高的；本節通過實證説明即便在 n 有限況下， X_n(f^\
)
大概率是最高的。那麼，到底是什麼保證了凱利公式的 f^\star 如此非凡呢？下一來給出答案。
4 理解凱利公式 —— 本質
上一節的介紹讓我們對凱利公式已經有一定的理解。本節就來揭示凱利公式背後的實質。
前文説到，以最大化 \mbo_n]凱利最大化的是單期對數收益率的期望，對於任何給定的 n ，這等價於最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ，即 X_n 的對數的期望
上一節中，我們給出了 n=20
時，
an>X_n 的概率質量函數，並指出隨着 f 的增大現出來越顯著的病態右偏。
下面就請睜大眼睛，我們要變魔術了！
將上一節中 X_n 的概率質b]數的橫坐標變成以
e 為底的對數b]，那麼它們就變了下面這個樣子。由於進行了坐標變換，下面這個其實就是 \ln(X_n) 的概/b]量函數b]/p>怎麼樣？ \ln(X/span> ， n = 20 的概率分佈不再右偏，而是呈現出幾乎左右對稱的鐘形（bell-shaped）形狀（當然 \ln(X_n) 的取值還是隨着 f 的增大越來越寬）。這個鐘形不太平滑是因span>n 的取值比較小。假如 n = 200 ，那麼不同比例 f 下 \ln(X_n) 的分佈如圖所示，分佈/b]平滑，鐘形[b]右更加對稱。
你一定已經猜到了我為什麼多次提到「鐘形」。因/b]態分b]形狀就是「鐘形」的。隨b]/b> n 增大， <n>\ln(X_n) 的分佈越來越接近正態分佈！此外，上面了兩張圖説明隨着 f \ln(X_n) 的眾即 \l_n) 的所有取值裏面概率最高的那一個，就是圖中概率質量函數的那個"尖兒"對應的 \ln(X_n) 的取值）先變大、後變小，在 f = f^\star 時達到峯值。對於正態分佈來説，它的眾數就是b]期望/b]b>因此，分佈b]個「尖兒」對應的 \ln(X_n) 的取值向右移動的過程就\mboxE[\ln(X_n)] 向右移動的過程。這意味着 \mboxE[\ln(X_n)] 在 f = f^\star 時最大，而這正是凱利求解 f^\star 時的初衷。
對於初始資金 X_0 （等於 1）
\ln(X_n) = \ln(X_n/X_0) 就是整個 n 局的對數收益率。對數收益率的最大好處是它的可加[b]，把單期的對數收益率相加就得到整體的對數收益率。
由於不同期之間是相互獨立的， n 期對數收益率相加相當於 n 個獨立的隨量相加。由中心極限定理（Central limit theorem）可知，它們的和 \ln(X_n) 逼近正態分佈，這解釋了為什麼上面 \ln(X_n) 的概率分佈呈現出「鐘形」。
由於 \ln(X_n) 是整個 n 期的對數收益，因此 (1/n) × \ln(X_n) 就是每期對數收益率的均值。由大數定律（Law of Large Numbers）可知， (1/n) × \l
_n) 隨着 n 的增大一定會收斂於它的期望[b]即 \mboxE[(1/n) × \ln(X_n)]n ， n 期的總收益會收斂於 \mboxE[\ln(X_n)]
[b]我們玩一個賭局或者投資，最想讓 X_n /b]越好，但我b]知道 X_n 最終會變成什麼樣，或者會收到什麼值。但上面的分析説明只要 n 足夠大，大數定律[b]證了 X_n 的對數，\ln(X ，一定/b]常接近它的期望 <[b]\mboxE[\ln(X_n)] ，那麼我們自然就想找到一個下注使得 \mboxE[\ln(X_n)] 儘可能的大。而凱利公式的 f^\star 恰恰就是使 \mboxE[\ln(X_n)] 最大的下注比例。這就是凱利b]為什麼 NB 的原因。
由於中心極限定理和大數定律的特性，我們並不
單期的率滿足特定的分佈。因此即便本文中使用扔硬幣這個例子 —— 它的單期收益率是個伯努利分佈 —— 凱利公式的思想，即最大化單期對數收益率，可以應用到任何不同的分佈中。
最後想提一句的是，凱利當初選擇使用對數收益率是受了伯努利對數效用函數的啓發。伯努利於 1738 年發表了一篇關於風險下做決策的重要論文作不是英文版，後來為了推廣，於 1954 年被一個大牛教授翻譯成英文出版，見 Bernoulli ）。在那篇文中，伯努利提出了對數效用函數以及著名的聖彼得堡悖論（St. Petersburg paradox）/p>\ln(X_/span> 隨 X_n 的變化如上圖所示。由於對數函數的特性，它説明當 X_n > 1 時（即我們在期末贏錢了），我們掙得越多，感受到的邊際喜悦越低；當 X_n < 1 時（即我們在期末虧錢了），我們虧的越多，感受到的邊際痛苦越高，這十分符合人在投資時的主觀感受。所以，從最終收益 X_n 的效用的角度來説，最大化期望效用
5 凱利公式在量化投資中
最後就來看看如何將凱利公式應用於量化投資中確定投資品的最佳槓桿比例（倉位）。
首先來看一種「生搬硬套」的方法。對於很多策略（特別是技術分析策略），一般都有勝率和盈虧比的概念。這裏勝率就是每次交易賺錢的概率，即 p ；盈虧比就相當於賠率 b ，即每單位虧損對應益。所以，我們可以使用凱利公式計算每次交易的倉位 f^\star = (bp – q) / b 。當然，考慮到投資者對於風險的訴求，還可以在這個倉位控制上加一個風險係數，從而進一步降低倉位。
但這種方法並不是很好。這裏的賠率的計算方法是所有盈利交易的平均收益除以所有虧損交易的平均虧損。由於每個交易的開倉、平倉時間並不固定，因此每次交易的持續時間都是不同的。這種方法在計算收益率時完全不考慮交易時間這個因素。比如兩次贏錢的交易，一次開倉時間為 2 天，收益 1%；而另開倉時間為 3 小時，收益為 1%。它們的平均收益為 1%，但是顯然這兩次交易的風險完全不同b]以，這個不考慮交易時間的賠率計算方式是有問題的，以此計算的 f^\star 並不合理。
下面就來看看更合理的應用凱利公式的方法。我們並不是生搬硬套節中的那個 f^\star 公式，而是利用凱利公式的思想，即最大化單期對數收益率。由於收益率都是相對一個給定的頻率而言的（如日收益率、周收益率等），因此這種方法更加合理。
假設一個投資品的單期的百分比收益率（即期末價格 / 期初價格 - 1）滿足均值為
pan>\mu 、標準差為 \sigma 的正態分佈。可以證明，在這個假設下，該投資品的單期對數收益率的期望為 μ - 0.5σ^2 。我們來看看最大化該對數收益率的槓桿率 L 是多少。
當我們使用 L 倍的槓桿時，均標準差分別變為 μL 和 σL ，因此對數收益率變為
- 0.5(σL)^2<
an> 。以 L 為自變量來最大化 μL - 0.5(σL)^2 。對其求一階導數並使它為 0，並檢查其二階導數有：
\beginarrayrlr 一階導數&:&\mu-\sigma^2L=0\\ 二階導數∓-\sigma^2 \endarray
由[b]階導數 0 可b]優的槓桿率為 L^\star = μ / σ^2 ，由於二階導數恆小於 0，因此對數收益率在 L = L^\star 有最大值。因此，凱利公式確定的最優率就是：在實際使用中， μ和 σ 難以估計，此外不同期之間的收益率也很難保證絕對獨立，因此業界普遍的觀點是凱利公式的理論槓桿率風險較為此，普遍的做法是把 L^\star 看作是槓桿率的上限，而使用 L^\star/2 的槓桿率，這稱之為「half-Kelly」。投資者可根據自己願意承擔的最大風險來決定是否進一步降低槓桿率。
最後想説明的是，無論如何應用凱利公式，重複性投資畢竟不是玩一個有固定且獨立收益特徵的賭局。投資b]
參
時間不停的變化，這就給我們在投資中應用凱利公式帶來了更多的障礙。有人説凱利公式的核心是控制風險，我比較認同這句話。畢竟，控制好風險才能在市場中活得長，活得長才有可能獲得更高的收益。
參考文獻
Bernoulli, D. (1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. , Vol. 22(1), 23 – 36.
Kelly, J. R. Jr. (1956). A New Interpretation of Information[b]t
, Vol. 35, 917 – 926.
MacLean, L. C., E. O. Thorp, and W. T. Ziemba, Eds (2010). World Sc
tific Handbook in Financial Economics Series, Vol 3.
Thorp, E. O. (1962). Random House, 世博娛樂城 New York.
Thorp, E. O. (2017). Random House, New York.
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"輪盤：香港旅遊業的新亮點，吸引國際遊客的原因"
輪盤：香港旅遊業的新亮點
香港是一個
特而多元化的旅遊目的地，擁有令人驚嘆的自然景觀、豐富的文化遺產和現代化的城市風貌。近年來，輪盤已成為香港旅遊業的新亮點，吸引了越來越多的國際遊客。以下是一些吸引遊客的原
：
1. 獨特的地理位置
香港位於中國南部，擁有得天獨厚的地理位置。它是亞洲的門户，是前往中國大陸和東南亞的重要樞紐。這使得香港成為國際遊客的理想起點和轉運站。
2. 豐富多樣的文化遺產
香港擁有豐富多樣的文化遺產，融合了中國傳統文化、
方文化和本土文化。遊客可以參觀古老的寺廟、古蹟和博物館，瞭解香港的歷史和文化。例如，香港的中環區有著悠久的歷史，保留了許多古老的建築和街道，讓遊客可以感受到香港的獨特魅力。
3. 現代化的城市風貌
香港是一個現代國際都市，擁有令人驚嘆的摩天大樓、現代化的交通系統和繁華的商業區。遊客可以在香港的中環區和尖沙咀區欣賞到壯觀的城市景觀，並在豪華的購物中心和餐廳中享受奢華的購物和美食體驗。
4. 自然景觀的多樣性
儘管香港是一個現代化的城市，但它也擁有豐富多樣的自然景觀。遊客可以在香港的郊區尋找寧靜和美麗的自然風光。例如，遊客可以前往大嶼山，欣賞到壯麗的海岸線和山脈，並探索大自然的奇妙之處。
<
5. 美食文化
香港被譽為美食天堂，擁有各種各樣的美食選擇。遊客可以品嚐到中國菜、西方菜和當地特色美食。例如，遊客可以在香港的夜市品嚐到各種美味的小吃，如燒臘、炒麵和點心。
6. 多元化的娛樂活動
香港提供了各種各樣的娛
活動，滿足不同遊客的需求。遊客可以參觀世界級的主題公園，如迪士尼樂園和海洋公園，體驗刺激的遊樂設施和精彩的演出。此外，香港還有豐富的藝術和文化節目，如音樂會、舞蹈表演和戲劇演出。
7. 獨特的購物體驗
香港被譽為購物，擁有各種各樣的購物中心和街市。遊客可以在香港的中環區和尖沙咀區尋找到世界知名的奢侈品牌和本地特色商品。此外，香港的夜市也是遊客購物的熱門地點，提供各種廉價的商品和品。
8. 安全和便利的旅遊環境
香港是一個安全和便利的旅遊目的地。它擁有先進的基礎設施和高效的交通系統，遊客可以輕鬆地在香港各地旅遊。此外，香港的治安狀況良好，遊客可以放心地在香港旅遊和探索。
總之，香港作為一個獨特而多元化的旅遊目的地，擁有各種各樣的吸引力。輪盤已成為香港旅遊業的新亮點，吸引了越來越多的國際遊客。
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1. 熟悉遊戲規則
首先，作為一個初學者，你需要熟悉二十一點的基本規則。遊戲的目標是接近但不超過21點，並且比莊家的點數高。你將與莊家對戰，並根據你手上的牌和莊家的明牌來做出決策。
2. 學習基本策略
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>學習基本策略是成為二十一點專家的關鍵。基本策略是根據你手上的牌和莊家的明牌，給出最佳的決策。例
當你手上的牌總和小於等於11時，應該要求額外的牌。
當你手上的牌總和為17或更高時，應該停止要求額外的牌。
當你手上的牌總和為12到16之間時，應該根據莊家的明牌來做出決策。
3. 熟悉計數系統
4>
計數系統是一種進階的技巧，可以幫助你預測剩餘牌組中高點數牌和低點數牌的比例。這樣你就可以調整你的下注策略，增加贏得的機會。一個常用的計數系統是高低計數系統，其中高點數牌（10、J、Q、K和A）被賦予-1的值，低點數牌（2到6）被賦予+1的值，7到9的牌被賦予0的值。
4. 實踐練
成為二十一點專家需要大量的實踐和磨練。你可以在線上或者實體賭場上玩二十一點，並將你學到的技巧應用到實際遊戲中。這樣你可以熟悉各種情況下的決策，並提高你的技巧和判斷力。
5. 管金
在二十一點中，資金管理是非常重要的。你應該設定一個賭註上限，並遵守這個上限。同時，你也應該有一個贏錢時停止的策略，以免失去你贏得金。
總結來説，成為二十一點專家需要熟悉遊戲規則，學習基本策略，熟悉計數系統，並進行大量的實踐和磨練。同時，資金管理也是非常重要的。希望這篇進階教學指南能幫助你提升你的二十一點技巧，成為一個專家級的玩家。
凯利公式，从赌场
量化投资
凱利公式，從賭場到量化投資 - 知乎
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量化投資
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1 引言
今天我們來聊聊大名鼎鼎的b]公式/b]文b]Kelly Formu[/b]b> 或 Kelly Criterion，所以中文作凱利準則）。
凱利公式由 John R. Kelly, Jr. 於1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一個期望收益為正的重複性賭局或者重複性投資中，每一期應該下注的最優比例。凱利公式在「拉斯維加斯」和「華爾街」久負盛名。很多數學天才將它在賭場和投資中發揚光大，取得了非凡的成就。這其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他開闢了戰勝 Blackjack（21 點）的策略，並使用凱利公式計算出來的比例進行下注（Thorp 1962）；玩轉賭場後，Thorp 博士將它在統計學和概率論上的天賦用在投資中，他創建的 PNP 對衝基金曾在近 30 年內取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，學術界也對凱利公式的各種數學性質以及實踐應用進行了大量的研究，這些成果匯總於 MacLean 等人編輯的論 MacLean et al. Eds (2010) 中。
凱利公式的計算非常簡單，但它背後所傳達的數學含義至關重要。本文從一個扔硬幣遊戲出發介紹凱利公式以及它的性質，之後會揭示凱利公式背後的實質。最後文章介紹如何把凱利公式推廣到量化投資定投資的最優槓桿比例。
鑑於凱利公式的知名度，網上介紹它的文章自不在少數。本文是我和另一位合伙人高老闆思想碰撞的產物，雖不求另闢蹊徑，但也希望能給小夥伴們理解
利公式提供一些新的思路。
2 賭桌上的問 —— 從扔硬幣到凱利
式
讓我們從扔硬幣説起。
假設在一個賭局遊戲中，我們一直不斷的扔硬幣。每局中，硬幣出現正面的概率為 p>0.5 （出現反面的概率為 q=1-p<0.5）且局與局之間扔硬幣的結果獨立。每局中我們下注一定的金額，如果出現正面我們贏錢（假設賠率為 1，即不算本金，我們贏的錢和下注/b]額相等），反之b]虧錢。由於 p>0.5，這個遊戲長期的期望收此玩下去對我們是有利的。
在這個遊戲中，我們需要做的決策是決定每局下注的金額。令 B_i 表示第 i 局的下注金額； T_i=1 表示在第 i 局中獲勝、 T_i=-1 表示在第 i 局中失敗。假設初始資金是 X_0，則第 n
之後的資金量 X_n
<n>X_n 的期望 \mboxE[X_n]。由上面的關係時 的b]式如下/b]>由於 p[b]gt;0，最大化 \mboxE[X_n] /b]於在每一局都最b]當期下注金額的期望 \mboxE[B_i]。這意味着，每一局中我們都應該有多少押多少。舉例來説，在第一局中，我們應該押注所有的初始資金，因此 B_1=X_0；如果我們贏了則 X_1=2X_0，在第
局中下注 B_2=X_1=2X_0，以此類推。
這個遊戲的期望收益雖然為正，但我們每局獲勝的概率 p 畢竟不等於 1，而是小於 1。也許我們能連贏幾次，但總有「運氣用盡」的那一局。一旦在某一局中硬幣出現反面，由於押注了全部資金，我們將會輸掉所有。由於 p<1，隨着賭局數 n b]加，「輸部」這種結果一b]出現。所以，以最大化 \mboxE[X_n] 為目標注
略（即每把都「滿倉幹」）b]是最優的。
下面讓我們看另一個策略 —— 固定比例投注（fixed fraction betting）。假設我們按照 B_i=fX_i-1, 0 呢？為扔硬幣有隨機性，因此 S 和 F 的取值也是不確定的，那麼這個最是從什麼意義上來説的呢？這
是凱利研究的問題。
定義函數 G_n(f) 如下：
這個 (1/n)\ln[X_n/X_0] 是什麼呢？由 可知， (1/n)\ln[X_n/X_0] 就是單局資金的指數增長率（b]局的對數收益率）。在決定最優的/b]比例 f 時，凱利選擇最大化單局對益率的期望（下文會解釋為什麼），記為 g(f) ：
令 g(f) 的一階導數等於 0 可以求出最優值 f^\star = p - q ，此外不難驗證在 (0,1) 區間上 g(f) 的二恆為負，因此 g[b] 在 f = f^\star 時有最大值。
f^\star = p - q 就是最優的下注比例，它就是凱利公式。在上面的例子中，我們[b]設每局的賠率等於 1一般[b]果用 b 表示每局賠率，則為：
如果我們一直將這個遊戲玩下去，按 [b]例下注將最大/b]數收益率的b]。對於任何給定的局數 n 和初始資金 X_span> <，按此比b]注實際上就是在最大/b>
oxE[\ln(X_n)] ，即 n 局後資金量的對數的期望。
按照凱利公式，我們在每局下注時都在最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ；而按照之前説的每局都全押，我們是在最大化 \mboxE[X_n] 。由對數函數的特性可知， \mboxE[\ln(X_n)]<\mboxE[X_n] ，所以我們自
會問，為什麼要最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ？這麼做如何就最優了？
按照 f^\star 比例而非其他比例下注有如下這兩b]覆性的/b]（在數學上b]證明了，我們只需要/b]就行了）：
隨着局/b]/b> n b]大，按照凱利公式 f^\stspan> 下注資金 X^\star) 遠遠超過按任何其他比例 f 下注的資b]X_n(f)；
對於任何給定的目標資金額 C ，以凱利公式 f^\star
下注的策略超過該資金額所需要的期望時間（即期望局數）最少。
上述兩點是按照凱利公式 f^\star 下注時， X_n 要性質b]其是第一條，用白話來説，它的意/b]只要我b]直玩下去（ n /b]大），那麼b]得最多的錢（ X_n 儘量大），那麼就應該按照 f^\star 下注。事實上，當 n 小的時候， X_n(f^\star) 很有可能小於 X_n(f) —— 即凱利公式策略的資金額比不過其他下注比例的資金額。但只要 n 足夠大，凱利公
一定會笑到最後勝其他比例。下面我們就來解讀凱利公式背後的實質。
3 理解凱利公式 —— 初探
從上一節的數學表達式可知，凱利公式的推導中考慮的是當局數 n 趨近於無窮時，資金量 X_n 逼近其極限情況的一些特性。 X_n(f^\star) 一定超過其他 X_n(f) 也是以 n 足夠大為前提的。但是在現實中，足夠大是多大呢？畢竟無論是在賭場中還是在投資中，我們的局數（投資期數） n 都是有限的b>對於有限b]的賭/b]者投資，b]保證按照凱利公式下注能產生最高的期末資/b] X_npan> ；當 n 有限時，使用凱利公式最優比例下注得
在多大概率上優於其他下注比例？是否有比凱利公式更好的下注比例呢？
為了搞清楚這些問題，考慮下面這個實驗。令 p = 0.6 ， q = 0.4 ， b = 1 ，初始資金為 1。由凱利公式易知 f^\star = 0.2 。假設我們玩 20 局，即 n = 20 。除了 f^\star 外，考慮另一個下注比例 f = 0.6 。通過一百萬次蒙特卡羅仿真來比較這兩個策略。每真中扔硬幣 20 局，並記錄 20 局後這兩個策略的資金額，最後對這一百萬次結果取均值。
結果顯示，按 0.6 比例下注的策略可以獲得比按照凱利公式下注更高的平均期末資金，即 \mboxE[X_n(f=0.6)] > \mboxE[X_n(f^\star=0.2)] 。這其實不難理解，因為凱利公式的目標是最大化 \mboxE[\ln(X_20)] ，而不是為了最大化 \mboxE[X_20] 。每次全押（即 f = 1 ）的策略最大化 \mboxE[X_20] ，任何大於 f^\star 注比例的期末期望 \mboxE[X_20(f)] 都會大於凱利公式的 \mboxE[X_^\star)] b]/p>然而有意思的是，在這一百萬次實驗中，按照 0.6 比例/b]的策略最終的 an>X_20(f) 取值僅僅在 12.6% 的情況中戰勝了按照凱利公式下注得到的 X_20(f^\star) 。在現實中顯然無法將這 20 局的賭局進行一百萬次/b]們只能進b]次。雖然按照 0.6 下注的期望更高，但就只進行一次 20 盤的賭終能的資金 X_2
span> /b]，使用b]公式下注戰用 0.6 的比b]注的概率高達 87.4%。
這是為什麼呢？
隨着 f 的/b]， X(f) 分佈的右偏/b]越嚴重b]越來越多的取/b]壓縮在整體分佈的左側b]此 n>X_20(f) 大於任何給定常數 C 的概率 —— \mboxProb(X_n(f) > C) 隨 f 的增大而快速下降。舉例來説，當 f=0.2 時， X_20>1 的概率為 0.416；而當 f=0.6 時， X_20>1 的概率驟減到 0.126。這暗示着在 20 局結束後， X_20(f^\star=0.2) 比 X_
=0.6)
即便是對於有限局數（本例中的 20），凱利公式計算出的下注比例仍然是非凡的。
我們將上面的結論推廣到更一般的情況。對於現實世界中任意給定的 p 、 q 以及賠率 b （下面假設 b=1 ），我們都能利用凱利公式算出 f^\star ，那
最少需要玩多少局我們就能拍着胸脯説使用 f^\star 下注一定比其他任何別的 f 所獲得的收益更高呢？
下面這個熱圖為 f^\star 以 90% 的概率（足夠拍着胸脯説了）戰勝其他 f 所需要的最小局數。其中每一行左邊的數值為出現正面概率 p 的取值，每一列最下方的數字代表下注比例 f 。每個 p 對應的 f^\star 也相應的標註在圖中。舉個例子，如果我們看 p=0.6 那一行， f^\star 的格子所在列為 f=0.2 ，説明 f^\star=0.2 。該行的其他列中的數字説明了 X_n(f^\star) 以 90% 的概率打敗 X_n(f) 所需要的最小的局數 n 。比如當 f=0.6 時，
應的格子裏的數字是 28，説明僅需要 n=28 局， X_n(f^\star=0.2) 就能以 90% 的概率戰勝 X_n(f=0.6) 。
當 f 接近 f^\star 的時候， f^\star 打敗 f 所需要的最小局數要高一些。但在現實中，如果 f^\star=0.2 ，那麼我們刻意去拿它和 f = 0.24 或者 f = 0.16 這些很接近它的比例去比也沒什麼意義。 f 越接近 f^\star ， X_n(f) 也就越接近 X_n(f^\star) ，所以我們會用一個和 f^\star 顯著不同的 f 來對比。從上面的熱圖可以看到，對於任意給定的 p ，當 f 和 f^\star 顯著不同時， X_n(f^\star) 僅僅需要很少的局數（一般不超過 50）就可以以 90% 的概率戰勝 X_n(f) 了。50 是一個什麼概念？如果我們在賭場待幾天，重複的玩一個賭局 50 次恐怕很容易。如果我們做投資，以周頻為單位的話，50 次只不過/b]短一年b]月頻為單位的話，50 次也不過區區 4 年出頭。所以，50 內在現活中是非常容易達到的次數。因此，對於現實中的 n 有限的情況，凱利公式也能在很大的概率上保證是最優的。
第二節直接給出了結論説明當 n 足夠大的時候， X_n(f^\star) 一定是最高的；本節通過實證説明即便在 n 有限況下， X_n(f^\
)
大概率是最高的。那麼，到底是什麼保證了凱利公式的 f^\star 如此非凡呢？下一來給出答案。
4 理解凱利公式 —— 本質
上一節的介紹讓我們對凱利公式已經有一定的理解。本節就來揭示凱利公式背後的實質。
前文説到，以最大化 \mbo_n]凱利最大化的是單期對數收益率的期望，對於任何給定的 n ，這等價於最大化 \mboxE[\ln(X_n)] ，即 X_n 的對數的期望
上一節中，我們給出了 n=20
時，
an>X_n 的概率質量函數，並指出隨着 f 的增大現出來越顯著的病態右偏。
下面就請睜大眼睛，我們要變魔術了！
將上一節中 X_n 的概率質b]數的橫坐標變成以
e 為底的對數b]，那麼它們就變了下面這個樣子。由於進行了坐標變換，下面這個其實就是 \ln(X_n) 的概/b]量函數b]/p>怎麼樣？ \ln(X/span> ， n = 20 的概率分佈不再右偏，而是呈現出幾乎左右對稱的鐘形（bell-shaped）形狀（當然 \ln(X_n) 的取值還是隨着 f 的增大越來越寬）。這個鐘形不太平滑是因span>n 的取值比較小。假如 n = 200 ，那麼不同比例 f 下 \ln(X_n) 的分佈如圖所示，分佈/b]平滑，鐘形[b]右更加對稱。
你一定已經猜到了我為什麼多次提到「鐘形」。因/b]態分b]形狀就是「鐘形」的。隨b]/b> n 增大， <n>\ln(X_n) 的分佈越來越接近正態分佈！此外，上面了兩張圖説明隨着 f \ln(X_n) 的眾即 \l_n) 的所有取值裏面概率最高的那一個，就是圖中概率質量函數的那個"尖兒"對應的 \ln(X_n) 的取值）先變大、後變小，在 f = f^\star 時達到峯值。對於正態分佈來説，它的眾數就是b]期望/b]b>因此，分佈b]個「尖兒」對應的 \ln(X_n) 的取值向右移動的過程就\mboxE[\ln(X_n)] 向右移動的過程。這意味着 \mboxE[\ln(X_n)] 在 f = f^\star 時最大，而這正是凱利求解 f^\star 時的初衷。
對於初始資金 X_0 （等於 1）
\ln(X_n) = \ln(X_n/X_0) 就是整個 n 局的對數收益率。對數收益率的最大好處是它的可加[b]，把單期的對數收益率相加就得到整體的對數收益率。
由於不同期之間是相互獨立的， n 期對數收益率相加相當於 n 個獨立的隨量相加。由中心極限定理（Central limit theorem）可知，它們的和 \ln(X_n) 逼近正態分佈，這解釋了為什麼上面 \ln(X_n) 的概率分佈呈現出「鐘形」。
由於 \ln(X_n) 是整個 n 期的對數收益，因此 (1/n) × \ln(X_n) 就是每期對數收益率的均值。由大數定律（Law of Large Numbers）可知， (1/n) × \l
_n) 隨着 n 的增大一定會收斂於它的期望[b]即 \mboxE[(1/n) × \ln(X_n)]n ， n 期的總收益會收斂於 \mboxE[\ln(X_n)]
[b]我們玩一個賭局或者投資，最想讓 X_n /b]越好，但我b]知道 X_n 最終會變成什麼樣，或者會收到什麼值。但上面的分析説明只要 n 足夠大，大數定律[b]證了 X_n 的對數，\ln(X ，一定/b]常接近它的期望 <[b]\mboxE[\ln(X_n)] ，那麼我們自然就想找到一個下注使得 \mboxE[\ln(X_n)] 儘可能的大。而凱利公式的 f^\star 恰恰就是使 \mboxE[\ln(X_n)] 最大的下注比例。這就是凱利b]為什麼 NB 的原因。
由於中心極限定理和大數定律的特性，我們並不
單期的率滿足特定的分佈。因此即便本文中使用扔硬幣這個例子 —— 它的單期收益率是個伯努利分佈 —— 凱利公式的思想，即最大化單期對數收益率，可以應用到任何不同的分佈中。
最後想提一句的是，凱利當初選擇使用對數收益率是受了伯努利對數效用函數的啓發。伯努利於 1738 年發表了一篇關於風險下做決策的重要論文作不是英文版，後來為了推廣，於 1954 年被一個大牛教授翻譯成英文出版，見 Bernoulli ）。在那篇文中，伯努利提出了對數效用函數以及著名的聖彼得堡悖論（St. Petersburg paradox）/p>\ln(X_/span> 隨 X_n 的變化如上圖所示。由於對數函數的特性，它説明當 X_n > 1 時（即我們在期末贏錢了），我們掙得越多，感受到的邊際喜悦越低；當 X_n < 1 時（即我們在期末虧錢了），我們虧的越多，感受到的邊際痛苦越高，這十分符合人在投資時的主觀感受。所以，從最終收益 X_n 的效用的角度來説，最大化期望效用
5 凱利公式在量化投資中
最後就來看看如何將凱利公式應用於量化投資中確定投資品的最佳槓桿比例（倉位）。
首先來看一種「生搬硬套」的方法。對於很多策略（特別是技術分析策略），一般都有勝率和盈虧比的概念。這裏勝率就是每次交易賺錢的概率，即 p ；盈虧比就相當於賠率 b ，即每單位虧損對應益。所以，我們可以使用凱利公式計算每次交易的倉位 f^\star = (bp – q) / b 。當然，考慮到投資者對於風險的訴求，還可以在這個倉位控制上加一個風險係數，從而進一步降低倉位。
但這種方法並不是很好。這裏的賠率的計算方法是所有盈利交易的平均收益除以所有虧損交易的平均虧損。由於每個交易的開倉、平倉時間並不固定，因此每次交易的持續時間都是不同的。這種方法在計算收益率時完全不考慮交易時間這個因素。比如兩次贏錢的交易，一次開倉時間為 2 天，收益 1%；而另開倉時間為 3 小時，收益為 1%。它們的平均收益為 1%，但是顯然這兩次交易的風險完全不同b]以，這個不考慮交易時間的賠率計算方式是有問題的，以此計算的 f^\star 並不合理。
下面就來看看更合理的應用凱利公式的方法。我們並不是生搬硬套節中的那個 f^\star 公式，而是利用凱利公式的思想，即最大化單期對數收益率。由於收益率都是相對一個給定的頻率而言的（如日收益率、周收益率等），因此這種方法更加合理。
假設一個投資品的單期的百分比收益率（即期末價格 / 期初價格 - 1）滿足均值為
pan>\mu 、標準差為 \sigma 的正態分佈。可以證明，在這個假設下，該投資品的單期對數收益率的期望為 μ - 0.5σ^2 。我們來看看最大化該對數收益率的槓桿率 L 是多少。
當我們使用 L 倍的槓桿時，均標準差分別變為 μL 和 σL ，因此對數收益率變為
- 0.5(σL)^2<
an> 。以 L 為自變量來最大化 μL - 0.5(σL)^2 。對其求一階導數並使它為 0，並檢查其二階導數有：
\beginarrayrlr 一階導數&:&\mu-\sigma^2L=0\\ 二階導數∓-\sigma^2 \endarray
由[b]階導數 0 可b]優的槓桿率為 L^\star = μ / σ^2 ，由於二階導數恆小於 0，因此對數收益率在 L = L^\star 有最大值。因此，凱利公式確定的最優率就是：在實際使用中， μ和 σ 難以估計，此外不同期之間的收益率也很難保證絕對獨立，因此業界普遍的觀點是凱利公式的理論槓桿率風險較為此，普遍的做法是把 L^\star 看作是槓桿率的上限，而使用 L^\star/2 的槓桿率，這稱之為「half-Kelly」。投資者可根據自己願意承擔的最大風險來決定是否進一步降低槓桿率。
最後想説明的是，無論如何應用凱利公式，重複性投資畢竟不是玩一個有固定且獨立收益特徵的賭局。投資b]
參
時間不停的變化，這就給我們在投資中應用凱利公式帶來了更多的障礙。有人説凱利公式的核心是控制風險，我比較認同這句話。畢竟，控制好風險才能在市場中活得長，活得長才有可能獲得更高的收益。
參考文獻
Bernoulli, D. (1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. , Vol. 22(1), 23 – 36.
Kelly, J. R. Jr. (1956). A New Interpretation of Information[b]t
, Vol. 35, 917 – 926.
MacLean, L. C., E. O. Thorp, and W. T. Ziemba, Eds (2010). World Sc
tific Handbook in Financial Economics Series, Vol 3.
Thorp, E. O. (1962). Random House, 世博娛樂城 New York.
Thorp, E. O. (2017). Random House, New York.
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"輪盤：香港旅遊業的新亮點，吸引國際遊客的原因"
輪盤：香港旅遊業的新亮點
香港是一個
特而多元化的旅遊目的地，擁有令人驚嘆的自然景觀、豐富的文化遺產和現代化的城市風貌。近年來，輪盤已成為香港旅遊業的新亮點，吸引了越來越多的國際遊客。以下是一些吸引遊客的原
：
1. 獨特的地理位置
香港位於中國南部，擁有得天獨厚的地理位置。它是亞洲的門户，是前往中國大陸和東南亞的重要樞紐。這使得香港成為國際遊客的理想起點和轉運站。
2. 豐富多樣的文化遺產
香港擁有豐富多樣的文化遺產，融合了中國傳統文化、
方文化和本土文化。遊客可以參觀古老的寺廟、古蹟和博物館，瞭解香港的歷史和文化。例如，香港的中環區有著悠久的歷史，保留了許多古老的建築和街道，讓遊客可以感受到香港的獨特魅力。
3. 現代化的城市風貌
香港是一個現代國際都市，擁有令人驚嘆的摩天大樓、現代化的交通系統和繁華的商業區。遊客可以在香港的中環區和尖沙咀區欣賞到壯觀的城市景觀，並在豪華的購物中心和餐廳中享受奢華的購物和美食體驗。
4. 自然景觀的多樣性
儘管香港是一個現代化的城市，但它也擁有豐富多樣的自然景觀。遊客可以在香港的郊區尋找寧靜和美麗的自然風光。例如，遊客可以前往大嶼山，欣賞到壯麗的海岸線和山脈，並探索大自然的奇妙之處。
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5. 美食文化
香港被譽為美食天堂，擁有各種各樣的美食選擇。遊客可以品嚐到中國菜、西方菜和當地特色美食。例如，遊客可以在香港的夜市品嚐到各種美味的小吃，如燒臘、炒麵和點心。
6. 多元化的娛樂活動
香港提供了各種各樣的娛
活動，滿足不同遊客的需求。遊客可以參觀世界級的主題公園，如迪士尼樂園和海洋公園，體驗刺激的遊樂設施和精彩的演出。此外，香港還有豐富的藝術和文化節目，如音樂會、舞蹈表演和戲劇演出。
7. 獨特的購物體驗
香港被譽為購物，擁有各種各樣的購物中心和街市。遊客可以在香港的中環區和尖沙咀區尋找到世界知名的奢侈品牌和本地特色商品。此外，香港的夜市也是遊客購物的熱門地點，提供各種廉價的商品和品。
8. 安全和便利的旅遊環境
香港是一個安全和便利的旅遊目的地。它擁有先進的基礎設施和高效的交通系統，遊客可以輕鬆地在香港各地旅遊。此外，香港的治安狀況良好，遊客可以放心地在香港旅遊和探索。
總之，香港作為一個獨特而多元化的旅遊目的地，擁有各種各樣的吸引力。輪盤已成為香港旅遊業的新亮點，吸引了越來越多的國際遊客。
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